收敛半径计算器

该收敛半径计算器专门设计用于计算给定幂级数的收敛半径。它是识别序列收敛位置的最佳工具。为方便用户使用，收敛半径计算器显示了分步解决方案。

什么是收敛半径？

“收敛半径是圆盘以一个系列收敛的系列为中心的最大半径”

它以 R 表示的非负实数中的特定点为中心，使得：

• 如果 |x - a| < R，则级数收敛
• 如果 |x - a| > R，则级数发散

你如何找到收敛半径？

根检验和比率检验用于找到收敛半径，因此请查看这些检验。

比率测试：

它是用于查找收敛、背离、收敛半径和收敛间隔的检验之一。

$$L= \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}} {a_n}$$

根测试：

根检验是对序列的检验，当升至n次方而没有任何阶乘表达式时。与比率检验类似，收敛性取决于极限的值。

$$L = \lim_{n\to\infty}\left|a_n^{\frac{1}{n}}\right|$$

查看在计算中实现这些测试的示例。

例：

求下一系列数的收敛半径 R。

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\left（x-3\right）^{n}}{n}$$

解决方案：

让我们假设：

$$C_{n}=\frac{\left（x-3\right）^{n}}{n}$$

上述序列将在 x = 3 时收敛。现在，对于手动计算，我们必须使用比率检验。

$$L= \lim_{n \to \infty}\frac{\left（x-3\right）^{n}}{n}$$

$$L= \lim_{n \to \infty}[\frac{\left（x-3\right）^{n+1}}{n+1}* \frac{n}{\left（x-3\right）^n}]$$

$$L= \lim_{n \to \infty}[\frac{\left（x-3\right）^{∞+1}}{∞+1}* \frac{∞}{\left（x-3\right）^∞}]$$

$$L=\lim_{n \to \infty}[\frac{\left（x-3\right）^{1}}{1}* \frac{∞}{\left（x-3\right）}]$$

$$\左|x-3\右|$$

现在，只有当 x-3 < 1 时，这个序列才会收敛。否则，对于 x-3 > 1，序列将发散。因此，收敛半径为 1。现在，通过考虑上述任何不等式，我们可以确定收敛区间。

$$\左|x-3\右|≤1$$

$$-1<\左|x-3\右|<1$$

$$-1+3$$

常见问题：

收敛半径可以为零吗？

当给定的序列收敛到一个点时，我们可以说收敛半径为零。由于收敛发生在单个点上，因此收敛半径计算器通过查找单个值的序列收敛来指示这一点。这意味着对于远离该点的任何非零值，序列都会发散。

如果极限为零，收敛半径是多少？

当上限趋于零时，收敛半径延伸到无穷大。如果极限是有限正数，则可以通过取极限的倒数来获得收敛半径。

我们可以计算出收敛的无限半径吗？

只有当所有复数 z 的级数收敛时，我们才能计算收敛半径为无限。